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205.无法证明的连续统假设（第1页）

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康托尔（GeorgCantor，1845—1918）柯恩（PaulJosephCohen，1934—2007）

1963年

虽然各种无限的观念并不容易理解，不过却可以利用附图“高斯有理数”这种计算机绘图作为辅助工具。图中每一颗球都代表位于复数平面上的复分数pq，其半径为1（2qq）。

亚里士多德滚轮悖论（约公元前320年），康托尔的超限数（1874年）及哥德尔定理（1931年）

在康托尔的超限数条目中，我们谈到写成?的最小超限数（aleph-nought，希伯来文，隐含有0的意思），当中只“计算”所有整数的个数。虽然所有整数、有理数（可以用分数表示的数字）跟无理数（像是√2这样的数字）的个数都是无限大，不过感觉起来，无理数的个数总是应该比整数或有理数的无限大都要来得更大，相同的道理，实数（包含所有有理数及无理数的集合）的个数也应该比整数的个数来得多。

为了表示上述各种集合间的差异，数学家们把有理数、整数的无限大定义成?0，并且把无理数或实数的无限大定义成C，两者间的简单关系就写成C=2。C表示实数集合的基数，通常被称为连续统。

此外，数学家们也想过用?、1?等符号表示更大的无限大，在集合论的定义中，?1表示比?0更大的最小的无限集合，其他符号以此类推。虽然康托尔的连续统假设指出C=?1=20，但是如今集合论已经证明我们无法判断C和?1之间的等号成立与否。换句话说，虽然以哥德尔为代表的伟大数学家们已经证明连续统假设与集合论的标准公理是兼容的，但是，美国数学家柯恩却在1963年证明就算连续统假设为假，也一样与集合论的标准公理兼容！柯恩出生于美国新泽西州长枝镇的犹太家庭，1950年从纽约市的史岱文森高中毕业。

另外还有一点特别值得注意：有理数的个数和整数的个数一样，无理数的个数则和实数的个数一模一样（数学家们通常会用基数表示无限大的“个数”）。看书阁『seeshu』，為您提供精彩小說閱讀

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