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230.球内三角形（第1页）
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霍尔（GlenRichardHall，1954—）
1982年
在一个圆里面随机找出三点画成一个三角形，画出三个内角都是小于90度锐角三角形的概率是多少？
维维安尼定理（1659年），布丰投针问题（1777年），拉普拉斯的《概率的分析理论》（1812年）及莫雷角三分线定理（1899年）
1982年，霍尔发表了一篇著名的论文—《n维球体内的锐角三角形》（AcuteTrianglesinthen-Ball），这同时也是霍尔生平第一篇论文，探讨当他就读于明尼苏达大学研究所时一门有关几何概率的课程。当在一个圆里面随机找出三点要画成一个三角形时，霍尔很好奇这个三角形是“锐角”三角形的概率会是多少？而且，霍尔并不以平面上的一个圆为满足，他还把研究范围扩大到其他更高的维度，像是在球体或超球体内的情况。圆的这些延拓称之为n维球体。锐角三角形指的是三个内角通通小于90度的三角形。
以下列出几个在n维球体内各自独立且均匀地挑出任意三点形成锐角三角形的相对应概率Pn：
P2=4π-18≈0.280285（圆）
P3=3370≈0.471429（球）
P4=256（45π）+132≈0.607655（四度空间超球体）
P5=14152002≈0.706793（五度空间超球体）
P6=2048（315π）+31256≈0.779842（六度空间超球体）
霍尔注意到，当球体所属维度增加时，任意三点组成锐角三角形的概率也会跟着提升，在九度空间超球体内任三点组成锐角三角形的概率高达0.905106。这个针对三角形的研究之所以受到其他数学家们的重视，在于直到20世纪80年代初期之前，从未有过球内三角形在较高维度内的一般化成果。霍尔曾经私下跟我表示说，他对于这个问题的潜在概率会随着所属维度不同而在有理数（可以表示成两个整数比率的数字）与无理数之间的变动感到相当有趣；在这个研究成果发表之前，恐怕没有哪一位数学家曾经往概率会随维度变化这个方向提出猜想。另外还有一点值得注意，1986年，是经由另一位数学家巴克塔（ChristianBuchta）之手，才为霍尔的积分提供一个闭合的估计。看书阁『seeshu』，為您提供精彩小說閱讀
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